Preguntas del profesor José Manuel Aroca:

• En toda prueba de un teorema hay una parte de innovación (idea feliz) y otra de (mucho) trabajo, ¿qué hay de «completamente» nuevo en su demostración?

Yo diría que hay un gran número de ideas nuevas cuya importancia individual es mediana, antes que una sola idea central. La descripción de Roger Heath-Brown, de la Universidad de Oxford («en el tratamiento de Helfgott debe haber 60 o 70 ideas nuevas e ingeniosas [clever] , cada una de las cuales da una pequeña mejora»), es halagadora, pero en verdad bastante precisa. Describiré algunas de estas ideas centrales en un artículo de divulgación. Uno de los temas principales es la visión de la gran criba y el método del círculo como dos caras de una misma moneda. Hay otros motivos recurrentes, como la utilización del error en una aproximación diofantina o la utilización de distintos pesos (smoothings) debidamente coordinados, dependiendo del contexto.

• Todos los intentos de prueba anteriores de la conjetura tienen el mismo esquema: i) probar el resultado para todos los impares mayores que N, ii) diseñar un proceso informático para comprobar el resultado para los impares menores que N. ¿Sigue su prueba este esquema? En caso afirmativo, ¿cuál es el orden del número N hasta el cual necesita computadoras?

En efecto, ese es el esquema de mi trabajo: se prueba la conjetura para todos los impares mayores que N y se verifican los impares hasta N con computadora. Es lo natural para una prueba analítica: es casi inevitable que tal prueba no marche para valores pequeños de los parámetros (en este caso, el parámetro N), puesto que entonces los términos de error ya no son una fracción negligible del término principal (y pueden incluso superarlo). Por ejemplo, 100/N^(1/3) es una fracción negligible de 1 — pero solo si N es bastante más grande que 10^6.

Tal como he escrito, la prueba marcha para N>10^29. Sería fácil modificarla un poco para que marche desde, digamos, N>10^27 e incluso sería posible bajar un poco más (aunque esto tomaría más trabajo). La verificación por computadora se hizo hasta <=8.8*10^30 ; al final, fue más que suficiente por un factor de 88. No fue el mayor esfuerzo computacional, fácilmente pudo haberse hecho hasta 10^32.

• Me consta que usted está interesado en la promoción de la matemática en el Perú, especialmente en el trabajo de selección y formación que se realiza en el IMCA para hacer surgir talentos matemáticos en el Perú. ¿Cree que también sería necesario promocionar la formación de una “clase media” de profesores de matemática?, ¿qué medidas sugiere tomar para ello?

Creo que no es exagerado pensar que, dada la mejora del nivel económico del país, en cinco años se duplicará el número de estudiantes de secundaria y en diez los universitarios, y todos necesitarán profesores de matemáticas. Lo de la «clase media» de profesores de matemática me parece muy bien dicho. Hay que formar a miles de profesores de secundaria y del comienzo de la carrera, en Lima y provincias, que no serán investigadores ellos mismos, pero que es necesario tengan una buena noción de las matemáticas, que sepan lo que es la investigación, y que sean capaces de formar a aquellos estudiantes que muestren inclinación y dedicación necesarias para volverse científicos o matemáticos. Claro está, deben también saber indicar a los estudiantes dónde y cómo adquirir conocimientos y desarrollar habilidades más allá de las suyas propias. La definición de un buen maestro es «aquel que sabe formar pupilos mejor que él».

Pregunta del profesor Julio César Alcántara:

• ¿Qué herramientas matemáticas se han utilizado en la prueba de la conjetura débil de Golbach?

Estoy escribiendo un artículo de divulgación sobre el asunto, también he tratado de dar una visión «a vuelo de pájaro» en las introducciones a mis dos artículos. En resumen: la estrategia general es la del método del círculo; es decir, el análisis de Fourier, introducido a este tipo de problemas por Hardy y Littlewood. Así como las funciones periódicas se pueden expresar como series de Fourier, las funciones sobre los enteros se pueden expresar como integrales de sumas exponenciales S(alfa). Por ejemplo, para la función Lambda definida por Lambda(n) = log p (si n es un primo p o una potencia de un primo p) y Lambda(n)=0 (si n no es una potencia de un primo), la suma exponencial es S_eta(alfa,x) = sum_n Lambda(n) e(alfa n) eta(n/x). Se trata de dar una estimación bastante exacta de S_eta(alfa,x) cuando alfa está cerca de un racional de pequeño denominador («arcos mayores») y dar una cota superior para |S_eta(alfa,x)| para todos los otros alfa («arcos menores»).

Tal es la estrategia general. De allí se tiene que partir casi desde cero, teniendo en mente algunas de las ideas de Vinogradov para los arcos menores, pero probando todas las estimaciones uno mismo. Es decir, en los arcos menores no se puede utilizar las funciones L, pues los módulos son muy grandes. Uno tiene que trabajar de manera combinatorio-analítica, con la gran criba como una herramienta importante. Una de las tareas principales es obtener cancelación de manera elemental (o utilizando, a lo más, la función zeta) en sumas que involucren a la función de Moebius.

En los arcos mayores se pueden utilizar ya sea regiones libres de ceros o verificaciones (rigurosas) por computadora de la hipótesis generalizada de Riemann hasta una altura constante y chi de módulo más pequeño que una constante. He elegido la segunda ruta. Esto permite muy buenas estimaciones dentro de arcos mayores bastante estrechos. Para obtener tales estimaciones, tuve que escoger un peso eta(t) = exp(-t^2/2) (peso gaussiano), lo cual me obligó a mejorar algunos resultados que existían sobre las funciones parabólico- cilíndricas. Como los arcos mayores tienen entonces que ser estrechos (y acotados en número), esto quiere decir que las cotas para los arcos menores tienen que ser muy robustas (pues los arcos menores son casi todo el círculo).

Preguntas del profesor Alfredo Poirier

• Harald, ¿para qué sirve todo esto?

Poniendo las cosas en perspectiva, la conjetura era una manera tradicional, concreta y accesible de plantear el problema general que sigue: cómo es que los primos, definidos mediante la multiplicación, interactúan con la suma. Al final, lo que sera útil no es el resultado en sí, sino los métodos que tuve que desarrollar y afinar para conseguirlo.

• ¿Por qué esto no prueba la conjetura fuerte? Tengo entendido que buena parte de la prueba depende del afinamiento de ciertos estimados ya trabajados antes. Entonces: ¿son estos estimados óptimos (en el sentido de que no podrán ser mejorados para llenar eventuales vacíos en prueba o simplificarla en un futuro)? ¿Por qué estos estimados dicen poco para la conjetura fuerte?

Los estimados no son necesariamente óptimos, aunque se acercan bastante. Por ejemplo, el estimado que doy para los arcos menores es esencialmente |S(a/q)|<= c (log q)/sqrt(phi(q)), donde c es una constante un poco menor que 1 (en verdad depende un tanto de q, pero está acotada por menos que 1 en el rango importante); mientras que, por lo menos en un pequeño rango, Ramare ha obtenido |S(a/q)|<= 13000 sqrt(q)/phi(q), lo cual es óptimo asintóticamente (ya Vinogradov tenía un resultado de esa calidad, sin una constante explícita). Como pueden ver, no sirve en la práctica (puesto que 13000 es una constante muy grande). En otras palabras, lo que se necesitaba eran estimaciones útiles pero no necesariamente óptimas.

El problema con la conjetura fuerte es que la contribución de los arcos menores (el «ruido») es en verdad mayor que la contribución de los arcos mayores. Por lo tanto, la estrategia de acotar S(alfa) en los arcos menores y estimarlo en los arcos mayores no puede funcionar. Necesitaríamos estimaciones asintóticamente correctas para S(alfa) con alfa arbitrario, y esto es algo que no se sabe hacer, aun bajo la hipótesis generalizada de Riemann. Hay un artículo en el blog de Tao que discute esto en detalle.

Pregunta del profesor Francisco Ugarte

• En un país donde la investigación en matemáticas es aún incipiente, ¿cuál es el papel que deben desempeñar los investigadores en la formación de jóvenes matemáticos?, ¿cuánto favorece el intercambio académico (estancias de investigación) en la formación y fortalecimiento de los grupos de investigación en matemáticas?

Uno de los roles principales de un investigador en la formación de jóvenes matemáticos es la asesoría doctoral. Como, de todas maneras, muchos estudiantes suelen hacer su doctorado en otros países, lo lógico es que los investigadores tomen también otros roles, como dirigir a los estudiantes más dedicados desde un punto anterior de la carrera, organizar encuentros y Escuelas de Verano, etc. Me parece que muchas veces los estudiantes que consideran tener una carrera en la investigación tienden a enseñarse los unos a los otros. Los intercambios académicos me parecen una muy buena idea, sobre todo si están dotados de una cierta estructura. Muchas de las ideas «estándar» (Escuelas de Verano e Invierno) me parecen aplicables al contexto peruano. Simplemente deben ser puestas en práctica más a menudo, en todo el país y regiones aledañas como radio. Me parece que la que co-organicé en Santiago, el 2012, salió bastante bien. Mi meta actual es hacer algo similar en la sierra del Perú el 2015 o, si se encuentran fondos, el 2014.

(Foto: Internet, cedida por Harald Helfgott)